Para mojarnos menos bajo la lluvia, ¿es mejor caminar o correr?
Está en la calle, el tiempo es incierto y empieza a llover, aunque no lleva paraguas. Su primer reflejo es inclinarse hacia delante y acelerar el paso, ¿no? Así cree que se mojará lo menos posible. Incluso puede aceptar mojarse más con tal de que no dure tanto.
¿Está justificado este comportamiento? ¿Es posible construir un modelo para responder a esta pregunta tan importante? En concreto, ¿depende la cantidad de agua recibida de la velocidad? ¿Existe una velocidad tal que la cantidad de agua recibida para ir de un lugar a otro sea mínima?
El efecto de inclinación y la velocidad
Para responder a estas preguntas, simplifiquemos las cosas, pero conservando los elementos importantes de la situación. Consideremos una lluvia homogénea que cae verticalmente. Esquemáticamente, podemos considerar que el caminante presenta superficies verticales (la parte delantera y trasera del cuerpo) y horizontales (la cabeza y los hombros) a la lluvia.
En primer lugar, veamos las superficies verticales. Cuanto más rápido caminemos, más gotas caerán sobre nosotros. Desde nuestro punto de vista, las gotas caen en ángulo, con una componente de velocidad exactamente igual a nuestra propia velocidad al caminar: cuanto más rápido vayamos, más gotas recibiremos. Pero cuanto más velozmente caminemos, tardaremos menos tiempo en ir de un punto a otro. Así que los dos efectos se anulan: más gotas por unidad de tiempo, pero menos tiempo de lluvia.
¿Y qué ocurre con las superficies horizontales? Cuando el viandante está parado, la lluvia cae sólo sobre estas superficies. Cuando le observamos caminar, vemos que recibe gotas que antes pasaban por delante de él, pero ya no recibe gotas que ahora pasan por detrás: en total, por unidad de tiempo, recibe una cantidad de lluvia sobre estas superficies horizontales que es independiente de su velocidad de marcha. Pero como la duración total del recorrido disminuye al aumentar la velocidad, la cantidad de agua recibida en las superficies horizontales será menor.
En definitiva, es una buena idea caminar más rápido.
El problema en términos matemáticos
Para aquellos a los que les guste el enfoque matemático de las cosas, aquí tienen una explicación que les satisfará:
Denotemos por ρ el número de gotas por unidad de volumen y por a su velocidad vertical. Denotemos por Sh la superficie horizontal del individuo y por Sv su superficie vertical.
Si estamos parados, la lluvia sólo caerá sobre nuestra cabeza y nuestros hombros, por lo que esta es la cantidad de agua que cae sobre la superficie Sh.
Aunque la lluvia caiga verticalmente, desde el punto de vista de un caminante que se desplaza a una velocidad v, llega oblicuamente, en una dirección que depende de la velocidad v.
Durante un intervalo de tiempo T, una gota recorre una distancia a*T. Así, todas las gotas que se encuentren a una distancia menor llegarán a esta superficie: son las gotas del cilindro de base Sh y altura a*T, es decir:
ρ*Sh*a*T
Como hemos visto, al avanzar, las gotas parecen moverse a una velocidad oblicua, que resulta de la composición de la velocidad a y la velocidad v. El número de gotas que llegan a Sh no cambia, porque la velocidad v es horizontal y, por tanto, paralela a Sh.
En cambio, el número de gotas que alcanzan la superficie Sv, que era nulo cuando el caminante estaba parado, es ahora igual al número de gotas contenidas en un cilindro (horizontal) de base Sv y longitud v*T, ya que esta longitud representa la distancia horizontal recorrida por las gotas durante este intervalo de tiempo.
En total, el caminante recibe un número de gotas dado por la expresión:
ρ*(Sh*a + Sv*v)*T
Ahora hay que tener en cuenta el intervalo de tiempo durante el cual el caminante se mojará. Si tiene que recorrer una distancia d a una velocidad constante v, el intervalo de tiempo viene dado por el cociente d/v (lo que obviamente supone que v no es cero). Trasladando esto a la expresión anterior, obtenemos el resultado final:
ρ(Sh*a + Sv*v)*d/v = ρ(Sh*a/v + Sv)*d
Por tanto, obtenemos el siguiente doble resultado:
- Por un lado, la cantidad de agua recibida en la cabeza y los hombros es menor cuanto mayor es la velocidad.
- Por otro lado, la cantidad de agua recibida en la parte vertical del cuerpo es independiente de la velocidad, ya que la reducción del tiempo de recorrido se compensa exactamente con el aumento del número de gotas recibidas.
Moraleja: es buena idea inclinarse y correr. Pero atención: agacharse aumenta la superficie horizontal a merced de la lluvia; por lo que este aumento debe compensarse con el aumento de la velocidad.